Корень равен выражению

Теперь корень стоит с одной стороны, а с другой — выражение с x. Здесь появляется главное правило: правая часть должна быть неотрицательной.

\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x)^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}

Решаем f = g^2 и оставляем только те корни, при которых g(x) \ge 0. Условие f \ge 0 проверять не надо — оно выполнится само, ведь f = g^2.

Пример: \sqrt{x + 6} = x. Возводим в квадрат: x + 6 = x^2, то есть x^2 - x - 6 = 0 и x = 3 или x = -2. Условие x \ge 0 оставляет только x = 3.

Что запомнить. \sqrt f = g \iff f = g^2 при g \ge 0. Корни, при которых g < 0, — посторонние.

Практика