Корень равен числу

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком корня. Идея решения проста: избавиться от корня, возведя обе части в степень. Но у этого шага есть цена — после него надо проверять корни.

Что нужно знать про корень

• \sqrt a определён только при a \ge 0 и не бывает отрицательным.
• Кубический корень \sqrt[3]{a} определён для любого a и может быть отрицательным: \sqrt[3]{-8} = -2.

Корень равен числу

Уравнение \sqrt{f(x)} = c:

• при c < 0 корней нет (корень не бывает отрицательным);
• при c \ge 0 возводим в квадрат: f(x) = c^2.

Для кубического корня: \sqrt[3]{f(x)} = c \iff f(x) = c^3 при любом c.

Пример: \sqrt{3x + 4} = 5. Возведём в квадрат: 3x + 4 = 25, x = 7. Проверка: \sqrt{3 \cdot 7 + 4} = \sqrt{25} = 5 ✓.

Что запомнить. \sqrt f = c: при c < 0 корней нет, иначе f = c^2. \sqrt[3]{f} = c \iff f = c^3. Всегда проверяй корень подстановкой.