Алгоритм: производная, критические точки, концы

Задание 12 — последняя «стандартная» задача первой части: найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Решается она одним и тем же алгоритмом, который не требует озарения.

Алгоритм

1. Найди производную f'(x).
2. Реши f'(x) = 0 — получатся критические точки.
3. Оставь только те, что лежат внутри отрезка [a;\ b].
4. Вычисли значения f в этих точках и на концах отрезка a и b.
5. Выбери наибольшее (или наименьшее) из найденных значений.

Почему так: непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений либо на концах, либо в точках, где производная равна нулю.

Пример. f(x) = x^3 - 3x на [0;\ 2]. f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1; внутри отрезка только x = 1. Значения: f(0) = 0, f(1) = -2, f(2) = 2. Наибольшее 2, наименьшее -2.

Что запомнить. Производная \to критические точки \to те, что на отрезке \to значения в них и на концах \to выбор. Концы отрезка нельзя забывать.