Блок 2 из 4 Бесплатно

Первообразная и площадь под графиком

Самое красивое свойство первообразной: разность её значений равна площади под графиком. Если F' = f, то на отрезке [a;\ b]:

F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx = \text{площадь под графиком } f \text{ (со знаком).}
  • Часть графика выше оси x даёт положительную площадь.
  • Часть ниже оси x даёт отрицательную площадь.

Константа C при вычитании сокращается, поэтому разность F(b) - F(a) не зависит от выбора первообразной.

Как считать на рисунке

Если график — ломаная, разбей фигуру под ней на треугольники, прямоугольники и трапеции и сложи (или вычти) их площади.

Пример: f — прямая y = x на [0;\ 4]. Площадь под ней — треугольник с катетами 4 и 4: \dfrac12 \cdot 4 \cdot 4 = 8, поэтому F(4) - F(0) = 8. Проверка: F(x) = \dfrac{x^2}{2}, F(4) - F(0) = 8 ✓.

Если график лежит ниже оси x, площадь фигуры берётся со знаком минус: F(b) - F(a) уменьшается. Поэтому на графике, где часть лежит выше, а часть ниже оси, надо вычесть «нижние» площади.

График функции f на [0;\ 5] — горизонтальный отрезок y = 2. Чему равна F(5) - F(0)?

  1. 2
  2. 7
  3. 10
  4. 5
Показать ответ

Верно: 2

Что запомнить. F(b) - F(a) — площадь под графиком f на [a;\ b], части ниже оси x — со знаком минус. Константа C сокращается.

Практика

Хочешь проверить себя?

Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.

Зарегистрироваться Войти