Блок 1 из 4 Бесплатно

Первообразная и таблица

Первообразная — это «обратная» к производной операция. Если производная отвечает на вопрос «как быстро меняется функция?», то первообразная — «какая функция так меняется?». В задании 8 она встречается в двух видах: найти значение по формуле и найти разность значений по графику.

Определение

Функция F(x) называется первообразной для f(x), если F'(x) = f(x).

У каждой функции бесконечно много первообразных: если F(x) — первообразная, то F(x) + C тоже. Константа C при дифференцировании исчезает, поэтому её находят по дополнительному условию.

Таблица первообразных

f(x) x^n (n \ne -1) \dfrac1x e^x \sin x \cos x
F(x) \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \ln\lvert x\rvert + C e^x + C -\cos x + C \sin x + C

Пример: найдём первообразную f(x) = 3x^2 - 2 с условием F(1) = 4. F(x) = x^3 - 2x + C. Из F(1) = 1 - 2 + C = 4 получаем C = 5. Значит, F(x) = x^3 - 2x + 5.

Продифференцируй: если получилась исходная функция, первообразная найдена верно. Например, (x^3 - 2x + 5)' = 3x^2 - 2 ✓.

Какая функция является первообразной для f(x) = 2x?

  1. x^2
  2. 2
  3. 2x^2
  4. \dfrac{x^2}{2}
Показать ответ

Верно: 1

Что запомнить. F' = f. Первообразных бесконечно много — они отличаются на константу. \displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Практика

Хочешь проверить себя?

Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.

Зарегистрироваться Войти