Блок 2 из 5 Бесплатно

Призма и пирамида

Призма и пирамида — следующая ступенька. Формулы объёма короткие, но пирамида требует внимания: в формуле есть коэффициент \dfrac13.

Призма

V = S_{\text{осн}} \cdot h.

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, поэтому площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h.

Пирамида

V = \dfrac13\, S_{\text{осн}} \cdot h.

Пирамида называется правильной, если в основании правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Отрезок SM (высота боковой грани) — апофема.

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD: основание ABCD — квадрат, вершина S проектируется в центр O квадрата. SO — высота h, SM — апофема, проведённая к середине M стороны BC.

В правильной пирамиде боковая поверхность — это боковые грани-треугольники: S_{\text{бок}} = \dfrac12 P_{\text{осн}} \cdot l, где l — апофема.

  1. Сторона основания 6, высота 4. Объём: V = \dfrac13 \cdot 36 \cdot 4 = 48.

  2. Апофема: l = \sqrt{h^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 (катеты — высота и половина стороны основания).

  3. Боковая поверхность: S_{\text{бок}} = \dfrac12 \cdot 24 \cdot 5 = 60.

Площадь основания пирамиды равна 12, высота равна 5. Чему равен объём?

  1. 60
  2. 20
  3. 30
  4. 17
Показать ответ

Верно: 2

Что запомнить. Призма: V = S_{\text{осн}}h, S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}}h. Пирамида: V = \dfrac13 S_{\text{осн}}h. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.

Практика

Хочешь проверить себя?

Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.

Зарегистрироваться Войти