Блок 1 из 5 Бесплатно

Функции с eˣ и ln x

В части 1 встречаются функции с e^x, \ln x и \sin/\cos. Алгоритм — тот же, что и для многочленов. Меняется только таблица производных и то, что значения в критических точках получаются «красивыми»: \ln 1 = 0, e^0 = 1.

Производные, которые нужны

(e^x)' = e^x, \quad (e^{kx})' = k e^{kx}, \quad (\ln x)' = \dfrac1x, \quad (\ln(x + b))' = \dfrac{1}{x + b}.

Алгоритм без изменений

  1. y'; 2. y' = 0; 3. оставить корни из отрезка; 4. значения в них и на концах; 5. выбрать.

Если в условии нет отрезка («наименьшее значение на промежутке (0;\ +\infty)»), ищи точку экстремума и убеждайся по знаку производной, что это минимум или максимум на всей области определения.

Пример. y = x - \ln x на [0{,}5;\ 3]. y' = 1 - \dfrac1x = 0 \Rightarrow x = 1. y(1) = 1 - \ln 1 = 1; на концах значения больше. Наименьшее значение 1.

Интерактивные графики функции и её производной работают при включённом JavaScript. Функция: exp(x)-x, производная: exp(x)-1.

Чему равна производная функции y = e^{2x}?

  1. e^{2x}
  2. 2e^{2x}
  3. 2xe^{2x}
  4. e^{x}
Показать ответ

Верно: 2

Что запомнить. (e^{kx})' = ke^{kx}, (\ln x)' = \dfrac1x. Алгоритм прежний. «Красивые» значения: \ln 1 = 0, e^0 = 1.

Практика

Хочешь проверить себя?

Задачи, подсказки и сохранение прогресса доступны после регистрации — это бесплатно.

Зарегистрироваться Войти