ОДЗ и дробь, равная нулю

Когда в уравнении есть дроби с x в знаменателе, появляется новый враг — деление на ноль. Поэтому решение всегда начинается не с вычислений, а с вопроса: при каких x выражение вообще имеет смысл?

Область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Выпиши все такие x и исключи их:

• \dfrac{5}{x - 2}: x \ne 2;
• \dfrac{1}{x^2 - 9}: x \ne 3 и x \ne -3;
• \dfrac{x}{x + 4}: x \ne -4.

Дробь равна нулю

Приравняй к нулю числитель, а затем проверь, не обращается ли в нуль знаменатель. Если обращается — такой корень посторонний.

Пример: \dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0. Числитель: x^2 = 16, то есть x = 4 или x = -4. Но при x = 4 знаменатель равен нулю, поэтому остаётся только x = -4.

Что запомнить. Сначала ОДЗ: знаменатели \ne 0. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Каждый найденный корень проверяй на ОДЗ.