Производная и угловой коэффициент

Производная — это не только про возрастание и убывание. Главный её геометрический смысл: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. На этом факте построена половина задач про касательные.

Геометрический смысл производной

где k — угловой коэффициент касательной, а \alpha — угол между касательной и положительным направлением оси x.

• f'(x_0) > 0: касательная «идёт вверх», угол острый.
• f'(x_0) < 0: касательная «идёт вниз», угол тупой.
• f'(x_0) = 0: касательная горизонтальна.

Таблица производных

Производная суммы — сумма производных, постоянный множитель выносится: (3x^2 + 5x)' = 6x + 5.

Пример: f(x) = x^3 - 4x^2 + 5. Тогда f'(x) = 3x^2 - 8x, а f'(2) = 12 - 16 = -4: в точке x = 2 касательная убывает с наклоном -4.

Что запомнить. f'(x_0) = k — угловой коэффициент касательной. (x^n)' = nx^{n-1}, (e^x)' = e^x, (\ln x)' = \dfrac1x, (\sin x)' = \cos x.